与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

## (1)の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

分母に複数の平方根が含まれているため、まず $(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ を1つの項として考え、全体を$(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}$と見て、$(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}$を分子と分母に掛ける。

\begin{align*}

\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}} &= \frac{1}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{5}} \\

&= \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})-\sqrt{5}}{((\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{5})((\sqrt{2}-\sqrt{3})-\sqrt{5})} \\

&= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} \\

&= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 - 2\sqrt{6} + 3 - 5} \\

&= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2\sqrt{6}} \\

&= \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})(-2\sqrt{6})}{(-2\sqrt{6})(-2\sqrt{6})} \\

&= \frac{-2\sqrt{12}+2\sqrt{18}+2\sqrt{30}}{24} \\

&= \frac{-4\sqrt{3}+6\sqrt{2}+2\sqrt{30}}{24} \\

&= \frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{30}}{12}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12}$

## (2)の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

分母を$(1+\sqrt{2}) - \sqrt{3}$ と見て、$(1+\sqrt{2}) + \sqrt{3}$ を分子と分母に掛ける。

\begin{align*}

\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} &= \frac{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})} \\

&= \frac{(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})(1+\sqrt{3}+\sqrt{2})}{((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})((1+\sqrt{2})+\sqrt{3})} \\

&= \frac{(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \\

&= \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3} \\

&= \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\

&= \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\

&= \frac{(1 + \sqrt{3})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \\

&= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$