与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。具体的には、 $x + 3y - 4z = -4$ $4x + 12y - z = 14$ $7x + 21y - 9z = 10$ について、係数行列と拡大係数行列の階数を求め、解を $t$ を用いて表します。ここで $y = t$ とします。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。具体的には、

$x + 3y - 4z = -4$

$4x + 12y - z = 14$

$7x + 21y - 9z = 10$

について、係数行列と拡大係数行列の階数を求め、解を $t$ を用いて表します。ここで $y = t$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

係数行列 $A$ と拡大係数行列 $B$ は次のようになります。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 4 & 12 & -1 \\ 7 & 21 & -9 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 4 & 12 & -1 & 14 \\ 7 & 21 & -9 & 10 \end{pmatrix}$

次に、行列 $A$ と $B$ の階数を求めます。行列 $B$ に対して行基本変形を行います。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 4 & 12 & -1 & 14 \\ 7 & 21 & -9 & 10 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引き、3行目から1行目の7倍を引くと、

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 15 & 30 \\ 0 & 0 & 19 & 38 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の19/15倍を引くと、

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 15 & 30 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列の階数は2です。したがって、拡大係数行列の階数は2です。

同様に、係数行列 $A$ に対しても行基本変形を行います。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 4 & 12 & -1 \\ 7 & 21 & -9 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引き、3行目から1行目の7倍を引くと、

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 15 \\ 0 & 0 & 19 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の19/15倍を引くと、

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 15 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列の階数は2です。したがって、係数行列の階数は2です。

連立一次方程式の解を求めます。$y = t$ とすると、

$x + 3t - 4z = -4$

$4x + 12t - z = 14$

$7x + 21t - 9z = 10$

最初の2つの方程式から $x$ と $z$ を $t$ で表します。2番目の式から最初の式の4倍を引くと、

$(4x + 12t - z) - 4(x + 3t - 4z) = 14 - 4(-4)$

$15z = 30$

$z = 2$

$x + 3t - 4(2) = -4$

$x = -4 - 3t + 8$

$x = 4 - 3t$

3. 最終的な答え

係数行列の階数は2です。

拡大係数行列の階数は2です。

解は、

$x = 4 - 3t$

$y = t$

$z = 2$