与えられた複数の数学の問題を解く。問題は、2次関数のグラフに関するもので、グラフが通る点の組を求めたり、グラフを平行移動させたときの式や頂点を求めたり、頂点の座標からグラフの式を求めたりする。

1. 問題の内容

与えられた複数の数学の問題を解く。問題は、2次関数のグラフに関するもので、グラフが通る点の組を求めたり、グラフを平行移動させたときの式や頂点を求めたり、頂点の座標からグラフの式を求めたりする。

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 - 2x + 2$ のグラフが通る $(x, y)$ の組を1つ求める。簡単なのは $x=0$ を代入してみることである。すると $y = 3(0)^2 - 2(0) + 2 = 2$ となる。

(2) $y = 3(x+1)^2 - 1$ のグラフを描くための表は省略します。グラフの概形としては、頂点が $(-1, -1)$ で、下に凸な放物線になる。

(3) $y = x^2$ のグラフを $x$ 方向に1, $y$ 方向に $-1$ だけ平行移動させたグラフの式は、

$y - (-1) = (x - 1)^2$

$y + 1 = (x - 1)^2$

$y = (x - 1)^2 - 1$

このグラフの頂点は $(1, -1)$。

(4) $y = 2(x - 2)^2 - 6$ を $y = 2(x + 1)^2 - 1$ に重ねるための平行移動を求める。

$y = 2(x - 2)^2 - 6$ の頂点は $(2, -6)$。

$y = 2(x + 1)^2 - 1$ の頂点は $(-1, -1)$。

$x$ 方向に $-1 - 2 = -3$, $y$ 方向に $-1 - (-6) = 5$ だけ平行移動すれば良い。

つまり、x方向に-3、y方向に5平行移動。

(5) 頂点の座標が $(3, 0)$ となる上に凸な2次関数のグラフの式を1つ挙げる。

$y = - (x - 3)^2$ など。

(6) 頂点の座標が $(1, 2)$ となる下に凸な2次関数のグラフの式を1つ挙げる。

$y = (x - 1)^2 + 2$ など。

(7) $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 + 3$ の頂点は $(1, 3)$。

(8) $y = 3x^2 - 2$ の頂点は $(0, -2)$。

(9) $y = -2(x + 2)^2$ の頂点は $(-2, 0)$。

3. 最終的な答え

(1) $(0, 2)$

(2) (グラフは省略)

(3) $y = (x - 1)^2 - 1$, 頂点 $(1, -1)$

(4) x方向に-3、y方向に5平行移動

(5) $y = - (x - 3)^2$ (例)

(6) $y = (x - 1)^2 + 2$ (例)

(7) $(1, 3)$

(8) $(0, -2)$

(9) $(-2, 0)$