$a$ を定数とする。2次関数 $y = 2x^2 + (4a+8)x + a^2 + 2a$ について、次の問いに答えよ。 (1) 2次関数の軸が正の値となるときの $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) $y$ 軸との交点が負の値となるときの $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) $x$ 軸と共有点をもたないときの $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2次関数 $y = 2x^2 + (4a+8)x + a^2 + 2a$ について、次の問いに答えよ。

(1) 2次関数の軸が正の値となるときの $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $y$ 軸との交点が負の値となるときの $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $x$ 軸と共有点をもたないときの $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数の軸が正の値となるときの $a$ の値の範囲を求める。

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の軸は $x = -\frac{b}{2a}$ である。

この問題の場合、$y = 2x^2 + (4a+8)x + a^2 + 2a$ なので、軸は $x = -\frac{4a+8}{2 \cdot 2} = -\frac{4a+8}{4} = -(a+2)$ となる。

軸が正の値となるので、

$-(a+2) > 0$

$a+2 < 0$

$a < -2$

(2) $y$ 軸との交点が負の値となるときの $a$ の値の範囲を求める。

$y$ 軸との交点は、$x=0$ のときの $y$ の値である。

$y = 2(0)^2 + (4a+8)(0) + a^2 + 2a = a^2 + 2a$

$y$ 軸との交点が負の値なので、

$a^2 + 2a < 0$

$a(a+2) < 0$

$-2 < a < 0$

(3) $x$ 軸と共有点をもたないときの $a$ の値の範囲を求める。

$x$軸と共有点をもたないということは、判別式 $D < 0$ である。

判別式 $D = b^2 - 4ac$

$D = (4a+8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 + 2a) < 0$

$16a^2 + 64a + 64 - 8a^2 - 16a < 0$

$8a^2 + 48a + 64 < 0$

$a^2 + 6a + 8 < 0$

$(a+2)(a+4) < 0$

$-4 < a < -2$

3. 最終的な答え

(1) $a < -2$

(2) $-2 < a < 0$

(3) $-4 < a < -2$