与えられた式の分母を有理化する問題です。式は $\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化する問題です。式は

$\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}$ と見て、$(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}$ を分母分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{1}{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(2 - 2\sqrt{6} + 3) - 5}$

$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{5 - 2\sqrt{6} - 5}$

$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{-2\sqrt{6}}$

次に、分母の $-2\sqrt{6}$ を有理化するために、分母分子に $\sqrt{6}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{-2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18} - \sqrt{30}}{-2 \cdot 6}$

$= \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{-12}$

最後に、分母分子に $-1$ をかけると、

$= \frac{-2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}}{12}$

$= \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{30}}{12}$