対数関数を含む不等式 $\log_2(2-x) + \log_2(\frac{x+5}{3}) < 1$ が成り立つような $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

対数関数を含む不等式 $\log_2(2-x) + \log_2(\frac{x+5}{3}) < 1$ が成り立つような $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 真数条件より、$2-x > 0$ かつ $\frac{x+5}{3} > 0$ である必要があります。

$2-x > 0$ より $x < 2$

$\frac{x+5}{3} > 0$ より $x > -5$

したがって、$-5 < x < 2$ となります。　(アイ=-5, ウ=2)

(2) 対数の性質より、

$\log_2(2-x) + \log_2(\frac{x+5}{3}) = \log_2((2-x) \cdot \frac{x+5}{3}) = \log_2(\frac{-x^2 -3x + 10}{3})$

なので、$\log_2(2-x) + \log_2(\frac{x+5}{3}) = \log_2(\frac{-x^2 -3x + 10}{3})$

となります。(エ=2, オ=3, カキ=10)

(3) $1 = \log_2 2$ である。（ク=2）

(4) 不等式 $\log_2(\frac{-x^2 -3x + 10}{3}) < 1$ は、$\log_2(\frac{-x^2 -3x + 10}{3}) < \log_2 2$ と書き換えられます。

底が2で1より大きいので、真数部分の大小関係もそのままなので、$\frac{-x^2 -3x + 10}{3} < 2$ となります。

両辺に3を掛けると、 $-x^2 -3x + 10 < 6$ となり、$-x^2 -3x + 4 < 0$

両辺に-1を掛けると、$x^2 + 3x - 4 > 0$ となります。

因数分解すると、$(x+4)(x-1) > 0$

したがって、$x < -4$ または $x > 1$

(5) (1)で求めた真数条件 $-5 < x < 2$ と (4)で求めた不等式の解 $x < -4$ または $x > 1$ の共通範囲を求めます。

$-5 < x < -4$ または $1 < x < 2$ となります。

したがって、$x$ の値の範囲は $-5 < x < -4$, $1 < x < 2$ となります。(ケコ=-5, サシ=-4, ス=1, セ=2)

3. 最終的な答え

アイ: -5

ウ: 2

エ: 3

オ: 3

カキ: 10

ク: 2

ケコ: -5

サシ: -4

ス: 1

セ: 2