与えられた方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x+1| < 5x$ (3) $|2x-1| \ge x+4$

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x+1| < 5x$

(3) $|2x-1| \ge x+4$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$

絶対値の性質より、場合分けをして解く。

(i) $x-3 \ge 0$ つまり $x \ge 3$ のとき、

$x-3 = 2x$

$-x = 3$

$x = -3$

これは $x \ge 3$ を満たさないので、解ではない。

(ii) $x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき、

$-(x-3) = 2x$

$-x + 3 = 2x$

$3x = 3$

$x = 1$

これは $x < 3$ を満たす。

ただし、$2x \ge 0$ である必要があるので、$x \ge 0$ も満たす必要があり、$x=1$ はこれを満たす。

(2) $|x+1| < 5x$

絶対値の性質より、場合分けをして解く。

(i) $x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき、

$x+1 < 5x$

$4x > 1$

$x > \frac{1}{4}$

$x \ge -1$ と $x > \frac{1}{4}$ より、$x > \frac{1}{4}$.

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき、

$-(x+1) < 5x$

$-x - 1 < 5x$

$6x > -1$

$x > -\frac{1}{6}$

$x < -1$ と $x > -\frac{1}{6}$ を同時に満たす $x$ は存在しない。

ただし、$5x > 0$ である必要があるので、$x > 0$ も満たす必要があり、(i), (ii)を合わせて $x > \frac{1}{4}$

(3) $|2x-1| \ge x+4$

絶対値の性質より、場合分けをして解く。

(i) $2x-1 \ge 0$ つまり $x \ge \frac{1}{2}$ のとき、

$2x - 1 \ge x + 4$

$x \ge 5$

$x \ge \frac{1}{2}$ と $x \ge 5$ より、$x \ge 5$.

(ii) $2x-1 < 0$ つまり $x < \frac{1}{2}$ のとき、

$-(2x-1) \ge x + 4$

$-2x + 1 \ge x + 4$

$-3x \ge 3$

$x \le -1$

$x < \frac{1}{2}$ と $x \le -1$ より、$x \le -1$.

したがって、$x \ge 5$ または $x \le -1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$

(2) $x > \frac{1}{4}$

(3) $x \le -1$ または $x \ge 5$