数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2a_n - n$ で表されるとき、以下の問いに答える。 (1) $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2a_n - n$ で表されるとき、以下の問いに答える。

(1) $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1}$ を $a_n$ で表す。

$a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$

$S_{n+1} = 2a_{n+1} - (n+1)$

$S_n = 2a_n - n$

したがって、

$a_{n+1} = (2a_{n+1} - (n+1)) - (2a_n - n)$

$a_{n+1} = 2a_{n+1} - n - 1 - 2a_n + n$

$a_{n+1} = 2a_{n+1} - 2a_n - 1$

$0 = a_{n+1} - 2a_n - 1$

$a_{n+1} = 2a_n + 1$

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

$a_{n+1} = 2a_n + 1$ を変形する。

$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$

ここで、$b_n = a_n + 1$ とおくと、

$b_{n+1} = 2b_n$

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比2の等比数列であることを意味する。

また、$S_1 = 2a_1 - 1$ であり、$S_1 = a_1$ であるから、

$a_1 = 2a_1 - 1$

$a_1 = 1$

したがって、$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$

$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$a_n = b_n - 1 = 2^n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = 2a_n + 1$

(2) $a_n = 2^n - 1$