関数 $y = \frac{2x+1}{x-1}$ と関数 $y = kx-1$ の共有点の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x-1}$ と関数 $y = kx-1$ の共有点の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二つの関数の共有点は、二つの式を連立させて得られる方程式の実数解の個数に対応します。したがって、

$$\frac{2x+1}{x-1} = kx-1$$

を解きます。まず、$x \neq 1$ に注意して、両辺に $x-1$ を掛けると、

$$2x+1 = (kx-1)(x-1)$$

$$2x+1 = kx^2 - kx - x + 1$$

$$kx^2 - kx - x + 1 - 2x - 1 = 0$$

$$kx^2 - (k+3)x = 0$$

$$x(kx - (k+3)) = 0$$

この方程式の解は、$x=0$ または $kx - (k+3) = 0$ です。

$x=0$ の場合、$\frac{2x+1}{x-1}$は定義できるので$x=0$ は条件を満たす。

$x=0$ を $y=kx-1$ に代入すると $y = -1$なので、共有点の一つは $(0, -1)$ です。

$kx - (k+3) = 0$ のとき、$kx = k+3$ となります。

(i) $k = 0$ のとき：

$0 = 3$ となり、解が存在しません。したがって、共有点は $(0, -1)$ の1つだけです。

(ii) $k \neq 0$ のとき：

$x = \frac{k+3}{k}$ となります。

$x \neq 1$ である必要があるので、$\frac{k+3}{k} \neq 1$、つまり $k+3 \neq k$、これは常に成立します。したがって、

$x = \frac{k+3}{k}$ は解として適切です。

このとき、共有点は $(0, -1)$ と $(\frac{k+3}{k}, k(\frac{k+3}{k}) - 1)$ の2つです。$(\frac{k+3}{k}, k+2)$

結論：

$k = 0$ のとき、共有点は1つです。

$k \neq 0$ のとき、共有点は2つです。

3. 最終的な答え

$k=0$ のとき1個、

$k\neq0$ のとき2個