$a$ は正の定数とします。$0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 + 4x + 5$ について、次の問いに答えます。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とします。$0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 + 4x + 5$ について、次の問いに答えます。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^2 + 4x + 5$ を平方完成します。

$f(x) = (x+2)^2 + 1$

グラフの軸は $x = -2$ で、頂点は $(-2, 1)$ です。

(1) 最小値を求める場合

定義域 $0 \le x \le a$ を考慮します。

軸 $x = -2$ は定義域に含まれていないため、定義域内で $x$ が小さいほど $f(x)$ は小さくなります。

したがって、最小値は $f(0) = 0^2 + 4(0) + 5 = 5$ です。

(2) 最大値を求める場合

定義域 $0 \le x \le a$ を考慮します。

軸 $x = -2$ から遠いほど $f(x)$ は大きくなります。

場合分けが必要です。

(i) $0 < a \le 4$ のとき

$x=a$ のとき最大値 $f(a) = a^2 + 4a + 5$

(ii) $a > 4$ のとき

$x=0$ のときと $x=a$ のときを比較する必要はありません。$x=a$ のとき常に$x=0$のときより値が大きいです。

$x=a$ のとき最大値 $f(a) = a^2 + 4a + 5$

3. 最終的な答え

(1) 最小値：5

(2) 最大値：

$0 < a \le 4$ のとき、$a^2 + 4a + 5$

$a > 4$ のとき、$a^2 + 4a + 5$

まとめると、$a > 0$ のとき、$a^2 + 4a + 5$