$0 < \theta < 180^\circ$ で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、次の式の値の口にあてはまる値を求めなさい。 (1) $\sin \theta \cos \theta = \frac{\boxed{}}{\boxed{}}$ (2) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{\boxed{}}}{\boxed{}}$

1. 問題の内容

$0 < \theta < 180^\circ$ で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、次の式の値の口にあてはまる値を求めなさい。

(1) $\sin \theta \cos \theta = \frac{\boxed{}}{\boxed{}}$

(2) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{\boxed{}}}{\boxed{}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

三角関数の相互関係より、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

(2) $(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算します。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$

(1)より、$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ なので、

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2 (-\frac{3}{8}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

よって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{4}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

$0 < \theta < 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ なので、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値によって、$\sin \theta - \cos \theta$ の符号が変わります。$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta > 0$ である必要があります。$\theta < 90^\circ$ の場合、$\cos \theta > 0$ であり、$\sin \theta - \cos \theta$ の符号はどちらもあり得ます。$\theta > 90^\circ$ の場合、$\cos \theta < 0$ となり、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ を満たすのは $\sin \theta > \frac{1}{2}$ の場合です。このとき $\sin \theta > 0$ かつ $-\cos \theta > 0$ なので、$\sin \theta - \cos \theta > 0$ となります。したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = \frac{-3}{8}$

(2) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$