与えられた分数の分母を有理化する問題です。 分数は $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。

分数は $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を$(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}$と見て、$(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} \times \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}$

$= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3}$

$= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

次に、$\sqrt{2}$を分子と分母に掛けます。

$= \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$