数列 $\{a_n\}$ が $a_1=4$, $a_{n+1} = \frac{4a_n+8}{a_n+6}$ で定義される。数列 $\{b_n\}$ を $b_n = \frac{a_n-2}{a_n+4}$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は等比数列となる。数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=4$, $a_{n+1} = \frac{4a_n+8}{a_n+6}$ で定義される。数列 $\{b_n\}$ を $b_n = \frac{a_n-2}{a_n+4}$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は等比数列となる。数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表す。

$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+4}$ に $a_{n+1} = \frac{4a_n+8}{a_n+6}$ を代入する。

$b_{n+1} = \frac{\frac{4a_n+8}{a_n+6}-2}{\frac{4a_n+8}{a_n+6}+4} = \frac{4a_n+8-2(a_n+6)}{4a_n+8+4(a_n+6)} = \frac{4a_n+8-2a_n-12}{4a_n+8+4a_n+24} = \frac{2a_n-4}{8a_n+32} = \frac{2(a_n-2)}{8(a_n+4)} = \frac{1}{4} \frac{a_n-2}{a_n+4} = \frac{1}{4} b_n$

したがって、数列 $\{b_n\}$ は公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列である。

次に、$b_1$ を求める。

$b_1 = \frac{a_1-2}{a_1+4} = \frac{4-2}{4+4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

したがって、$b_n = \frac{1}{4} (\frac{1}{4})^{n-1} = (\frac{1}{4})^n$

$b_n = \frac{a_n-2}{a_n+4} = (\frac{1}{4})^n$

$a_n-2 = (\frac{1}{4})^n (a_n+4)$

$a_n-2 = (\frac{1}{4})^n a_n + 4 (\frac{1}{4})^n$

$a_n - (\frac{1}{4})^n a_n = 4 (\frac{1}{4})^n + 2$

$a_n (1 - (\frac{1}{4})^n) = 4 (\frac{1}{4})^n + 2$

$a_n (\frac{4^n-1}{4^n}) = \frac{4+2\cdot 4^n}{4^n}$

$a_n = \frac{2\cdot 4^n+4}{4^n-1} = \frac{2(4^n+2)}{4^n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2(4^n+2)}{4^n-1}$