$m, n$ を整数とする。多項式 $A = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$ を多項式 $B = x^2 - 2x - 1$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求め、さらに $x = 1 + \sqrt{2}$ のときの $B$ の値と、$A = -1$ となる時の $m, n$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

$m, n$ を整数とする。多項式 $A = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$ を多項式 $B = x^2 - 2x - 1$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求め、さらに $x = 1 + \sqrt{2}$ のときの $B$ の値と、$A = -1$ となる時の $m, n$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$A$ を $B$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求める。

$A = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$

$B = x^2 - 2x - 1$

筆算を行うと、

$Q = x + (m + 2)$

$R = (2m + n + 3)x + (3m + n + 2)$

と求まる。

問題文では、$Q = x + (m + \text{ア})$、$R = (2m + n + 1)x + (3m + n + \text{ウ})$となっているので、ア = 2, ウ = 2

よって、$Q = x + (m + 2)$、$R = (2m + n + 3)x + (3m + n + 2)$

次に、$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$B$ の値を求める。

$B = x^2 - 2x - 1 = (1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 0$

よって、$B$ の値は 0 (エ) である。

さらに、$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$A = -1$ であるとする。

$A = BQ + R$ であり、$B = 0$ なので、$A = R$

$A = -1$ より、$R = -1$

$R = (2m + n + 3)x + (3m + n + 2) = -1$

$(2m + n + 3)(1 + \sqrt{2}) + (3m + n + 2) = -1$

$(2m + n + 3) + (2m + n + 3)\sqrt{2} + (3m + n + 2) = -1$

$(5m + 2n + 5) + (2m + n + 3)\sqrt{2} = -1$

$5m + 2n + 5$ と $2m + n + 3$ は整数であるから、$2m + n + 3 = 0$ かつ $5m + 2n + 5 = -1$

$n = -2m - 3$

$5m + 2(-2m - 3) + 5 = -1$

$5m - 4m - 6 + 5 = -1$

$m - 1 = -1$

$m = 0$

$n = -2(0) - 3 = -3$

よって、$m = 0$ (オ), $n = -3$ (カキ) である。

3. 最終的な答え

ア = 2

ウ = 2

エ = 0

オ = 0

カキ = -3