2次関数 $y = x^2 - 2mx + 2m + 4$ のグラフについて、以下の問いに答える。 (1) グラフがx軸と共有点を持つような $m$ の値の範囲を求める。 (2) グラフの頂点の座標を求める。 (3) グラフがx軸から切り取る線分の長さが4であるとき、$m$ の値と共有点のx座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2mx + 2m + 4$ のグラフについて、以下の問いに答える。

(1) グラフがx軸と共有点を持つような $m$ の値の範囲を求める。

(2) グラフの頂点の座標を求める。

(3) グラフがx軸から切り取る線分の長さが4であるとき、$m$ の値と共有点のx座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフがx軸と共有点を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ であることである。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(2m+4) = 4m^2 - 8m - 16 \ge 0$

$m^2 - 2m - 4 \ge 0$

$m^2 - 2m + 1 - 5 \ge 0$

$(m-1)^2 \ge 5$

$m-1 \le -\sqrt{5}$ または $m-1 \ge \sqrt{5}$

$m \le 1 - \sqrt{5}$ または $m \ge 1 + \sqrt{5}$

(2) グラフの頂点の座標を求めるためには、平方完成を行う。

$y = x^2 - 2mx + 2m + 4 = (x-m)^2 - m^2 + 2m + 4$

よって、頂点の座標は $(m, -m^2 + 2m + 4)$

(3) グラフがx軸から切り取る線分の長さが4であるとき、x軸との交点を $\alpha, \beta$ とすると $|\alpha - \beta| = 4$。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2m$, $\alpha \beta = 2m + 4$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (2m)^2 - 4(2m+4) = 4m^2 - 8m - 16 = 16$

$m^2 - 2m - 4 = 4$

$m^2 - 2m - 8 = 0$

$(m-4)(m+2) = 0$

$m = 4, -2$

(i) $m = 4$ のとき、

$y = x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

共有点のx座標は $x = 2, 6$

(ii) $m = -2$ のとき、

$y = x^2 + 4x = x(x+4)$

共有点のx座標は $x = 0, -4$

ここで、$m$ の範囲を確認する。

$m \le 1 - \sqrt{5} \approx -1.236$ または $m \ge 1 + \sqrt{5} \approx 3.236$

$m=4$ は条件を満たす。$m=-2$も条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $m \le 1 - \sqrt{5}$ または $m \ge 1 + \sqrt{5}$

(2) $(m, -m^2 + 2m + 4)$

(3) $m = 4$ のとき、共有点のx座標は $x = 2, 6$

$m = -2$ のとき、共有点のx座標は $x = 0, -4$