$x, y$が3つの不等式 $2x+y \geq 0$, $x+2y \leq 6$, $4x-y \leq 6$を満たすとき、$x-y$の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$x, y$が3つの不等式 $2x+y \geq 0$, $x+2y \leq 6$, $4x-y \leq 6$を満たすとき、$x-y$の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式をグラフに図示して、領域を求める。

$2x+y \geq 0$ より $y \geq -2x$

$x+2y \leq 6$ より $y \leq -\frac{1}{2}x+3$

$4x-y \leq 6$ より $y \geq 4x-6$

これらの不等式を満たす領域を図示する。領域は、これらの直線で囲まれた多角形になる。

多角形の頂点を求めると、以下のようになる。

(1) $y = -2x$ と $y = 4x-6$ の交点:

$-2x = 4x - 6$ より $6x = 6$ なので $x=1$、$y=-2$。 交点は $(1, -2)$

(2) $y = -2x$ と $y = -\frac{1}{2}x + 3$ の交点:

$-2x = -\frac{1}{2}x + 3$ より $-\frac{3}{2}x = 3$ なので $x=-2$、$y=4$。交点は $(-2, 4)$

(3) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ と $y = 4x - 6$ の交点:

$-\frac{1}{2}x + 3 = 4x - 6$ より $\frac{9}{2}x = 9$ なので $x=2$、$y=2$。交点は $(2, 2)$

したがって、領域の頂点は $(1, -2)$, $(-2, 4)$, $(2, 2)$ となる。

$k = x-y$とおき、$x-y$の最大値と最小値を求める。

これは、$y=x-k$という直線を考え、この直線が領域と交わりを持つときの$k$の最大値と最小値を求めることに相当する。

領域の頂点における$x-y$の値を計算すると、

$(1, -2)$ のとき $x-y = 1 - (-2) = 3$

$(-2, 4)$ のとき $x-y = -2 - 4 = -6$

$(2, 2)$ のとき $x-y = 2 - 2 = 0$

したがって、最大値は3、最小値は-6となる。

3. 最終的な答え

最大値: 3

最小値: -6