一次関数 $y=ax+b$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 3$ であるとき、$y$ の変域が $-3 \le y \le 7$ となるような定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。$a$ が正の場合と負の場合に分けて考える必要があります。

1. 問題の内容

一次関数 $y=ax+b$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 3$ であるとき、$y$ の変域が $-3 \le y \le 7$ となるような定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。$a$ が正の場合と負の場合に分けて考える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$a > 0$ の場合を考えます。$a > 0$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加します。したがって、$x = -2$ のとき $y = -3$、$x = 3$ のとき $y = 7$ となります。このことから、以下の連立方程式が成り立ちます。

$-3 = -2a + b$

$7 = 3a + b$

この連立方程式を解きます。2番目の式から1番目の式を引くと、

$10 = 5a$

$a = 2$

これを1番目の式に代入すると、

$-3 = -2(2) + b$

$-3 = -4 + b$

$b = 1$

したがって、$a > 0$ の場合、$a = 2$, $b = 1$ となります。

次に、$a < 0$ の場合を考えます。$a < 0$ のとき、$x$ が増加すると $y$ は減少します。したがって、$x = -2$ のとき $y = 7$、$x = 3$ のとき $y = -3$ となります。このことから、以下の連立方程式が成り立ちます。

$7 = -2a + b$

$-3 = 3a + b$

この連立方程式を解きます。1番目の式から2番目の式を引くと、

$10 = -5a$

$a = -2$

これを1番目の式に代入すると、

$7 = -2(-2) + b$

$7 = 4 + b$

$b = 3$

したがって、$a < 0$ の場合、$a = -2$, $b = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a > 0$ のとき、$a = 2$, $b = 1$。

$a < 0$ のとき、$a = -2$, $b = 3$。