実数 $x, y, z$ が $x+y+z=2$, $x^2+y^2+z^2=10$, $xyz=-1$ を満たすとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が $x+y+z=2$, $x^2+y^2+z^2=10$, $xyz=-1$ を満たすとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+y = 2-z$, $y+z=2-x$, $z+x=2-y$ であることに注意します。

したがって、求める値は $(2-x)(2-y)(2-z)$ です。

これを展開すると、

\begin{align*} (2-x)(2-y)(2-z) &= (4-2y-2x+xy)(2-z) \\ &= 8 - 4y - 4x + 2xy - 4z + 2yz + 2xz - xyz \\ &= 8 - 4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) - xyz \end{align*}

となります。

ここで、$x+y+z=2$ なので、

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ が成り立ちます。

したがって、$2^2 = 10 + 2(xy+yz+zx)$ より、

$4 = 10 + 2(xy+yz+zx)$, よって $2(xy+yz+zx) = -6$ です。

したがって、

\begin{align*} (2-x)(2-y)(2-z) &= 8 - 4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) - xyz \\ &= 8 - 4(2) + (-6) - (-1) \\ &= 8 - 8 - 6 + 1 \\ &= -5 \end{align*}

3. 最終的な答え

-5