与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$ となっています。

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$ となっています。

2. 解き方の手順

数列の第 $k$ 項 $a_k$ は、

$a_k = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{k-1}$

で表されます。これは初項 1、公比 2 の等比数列の和であるため、

$a_k = \frac{1(2^k - 1)}{2-1} = 2^k - 1$

となります。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$

と表されます。

この和を計算するために、$\sum_{k=1}^{n} 2^k$ と $\sum_{k=1}^{n} 1$ を別々に計算します。

$\sum_{k=1}^{n} 2^k$ は、初項 2、公比 2 の等比数列の和であるため、

$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2$

となります。

また、

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

となります。

したがって、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1 = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$

となります。

3. 最終的な答え

$2^{n+1} - n - 2$