行列 $A$ が与えられたとき、以下の２つのことを証明しなさい。 (1) 任意の行列 $A$ がエルミート行列 $B$ と反エルミート行列 $C$ の和として一意的に表されることを示せ。 (2) 条件 $A^*A = AA^*$ (このような $A$ を正規行列という) に同値な条件を $B$ と $C$ のみで与えよ。ここで $A^*$ は $A$ の共役転置を表す。

## 問題１

1. 問題の内容

行列 $A$ が与えられたとき、以下の２つのことを証明しなさい。

(1) 任意の行列 $A$ がエルミート行列 $B$ と反エルミート行列 $C$ の和として一意的に表されることを示せ。

(2) 条件 $A^*A = AA^*$ (このような $A$ を正規行列という) に同値な条件を $B$ と $C$ のみで与えよ。ここで $A^*$ は $A$ の共役転置を表す。

2. 解き方の手順

(1) 任意の行列 $A$ をエルミート行列 $B$ と反エルミート行列 $C$ の和として表すことを考えます。

$A = B + C$ とします。ここで、$B^* = B$、$C^* = -C$ です。

両辺の共役転置をとると、$A^* = (B + C)^* = B^* + C^* = B - C$ となります。

したがって、

$A + A^* = B + C + B - C = 2B$

$A - A^* = B + C - (B - C) = 2C$

これにより、$B = \frac{A + A^*}{2}$ および $C = \frac{A - A^*}{2}$ となります。

$B$ と $C$ がそれぞれエルミート行列と反エルミート行列であることを確認します。

$B^* = (\frac{A + A^*}{2})^* = \frac{A^* + (A^*)^*}{2} = \frac{A^* + A}{2} = B$

$C^* = (\frac{A - A^*}{2})^* = \frac{A^* - (A^*)^*}{2} = \frac{A^* - A}{2} = -C$

よって、$B$ はエルミート行列、$C$ は反エルミート行列です。

一意性について：$A = B_1 + C_1 = B_2 + C_2$ と２通りの表現があったとする。このとき$B_1 - B_2 = C_2 - C_1$となる。左辺はエルミート行列、右辺は反エルミート行列である。従って、両辺はエルミート行列かつ反エルミート行列となるため、ゼロ行列でなければならない。すなわち、$B_1 = B_2$、$C_1 = C_2$となり、一意的に表される。

(2) $A^*A = AA^*$ に同値な条件を $B$ と $C$ で表す。

$A = B + C$ なので、$A^* = B^* + C^* = B - C$

$A^*A = (B - C)(B + C) = B^2 + BC - CB - C^2$

$AA^* = (B + C)(B - C) = B^2 - BC + CB - C^2$

したがって、$A^*A = AA^*$ は、$B^2 + BC - CB - C^2 = B^2 - BC + CB - C^2$ と同値である。

つまり、$BC - CB = -BC + CB$ から $2BC = 2CB$ となり、$BC = CB$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $B = \frac{A + A^*}{2}$ および $C = \frac{A - A^*}{2}$ であり、一意的に表される。

(2) $BC = CB$

## 問題2

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

a & a-b+\sqrt{\frac{-1}{3}} \\

a+\sqrt{\frac{-1}{3}} & b-a

\end{pmatrix}

$$

がユニタリ行列となるような実数 $a, b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A$ がユニタリ行列であるとは、$A^*A = I$ を満たすことです。ここで、$A^*$ は $A$ の共役転置であり、$I$ は単位行列です。

$A = \begin{pmatrix}

a & a-b+i/\sqrt{3} \\

a+i/\sqrt{3} & b-a

\end{pmatrix}$

$A^* = \begin{pmatrix}

a & a-i/\sqrt{3} \\

a-b-i/\sqrt{3} & b-a

\end{pmatrix}$

$A^*A = \begin{pmatrix}

a & a-i/\sqrt{3} \\

a-b-i/\sqrt{3} & b-a

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

a & a-b+i/\sqrt{3} \\

a+i/\sqrt{3} & b-a

\end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}

a^2 + (a+i/\sqrt{3})(a-i/\sqrt{3}) & a(a-b+i/\sqrt{3})+(a-i/\sqrt{3})(b-a) \\

(a-b-i/\sqrt{3})a+(b-a)(a+i/\sqrt{3}) & (a-b-i/\sqrt{3})(a-b+i/\sqrt{3}) + (b-a)^2

\end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}

2a^2 + 1/3 & a(a-b+i/\sqrt{3})+a(b-a)-i/\sqrt{3}(b-a) \\

a(a-b-i/\sqrt{3})+(b-a)a+i/\sqrt{3}(b-a) & (a-b)^2 + 1/3 + (b-a)^2

\end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}

2a^2 + 1/3 & i/\sqrt{3} a - i/\sqrt{3}(b-a) \\

-i/\sqrt{3} a + i/\sqrt{3}(b-a) & 2(a-b)^2 + 1/3

\end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix}

2a^2 + 1/3 & i/\sqrt{3} (2a-b) \\

i/\sqrt{3} (b-2a) & 2(a-b)^2 + 1/3

\end{pmatrix}$

$A^*A = I = \begin{pmatrix}

1 & 0 \\

0 & 1

\end{pmatrix}$

したがって、以下の連立方程式が得られます。

(1) $2a^2 + 1/3 = 1$

(2) $2(a-b)^2 + 1/3 = 1$

(3) $2a - b = 0$

(1) より、$2a^2 = 2/3$ なので $a^2 = 1/3$。したがって、$a = \pm 1/\sqrt{3}$。

(3) より、$b = 2a$。

(2) に代入すると、$2(a - 2a)^2 + 1/3 = 1$

$2(-a)^2 = 2/3$

$2a^2 = 2/3$

$a^2 = 1/3$。したがって、$a = \pm 1/\sqrt{3}$。

$a = 1/\sqrt{3}$ のとき、$b = 2/\sqrt{3}$

$a = -1/\sqrt{3}$ のとき、$b = -2/\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$(a, b) = (1/\sqrt{3}, 2/\sqrt{3}), (-1/\sqrt{3}, -2/\sqrt{3})$

## 問題3

1. 問題の内容

$V_1, V_2 \subset \mathbb{R}^n$ が部分空間であるとき、「$V_1 \cup V_2$ が部分空間になること」と「$V_1 \subset V_2$ または $V_2 \subset V_1$ が成立すること」が同値であることを示せ。

2. 解き方の手順

($\Rightarrow$) $V_1 \cup V_2$ が部分空間 $\Rightarrow$ $V_1 \subset V_2$ または $V_2 \subset V_1$ を示す。

$V_1 \not\subset V_2$ かつ $V_2 \not\subset V_1$ と仮定する。このとき、$x \in V_1$ かつ $x \notin V_2$ なる $x$ が存在し、$y \in V_2$ かつ $y \notin V_1$ なる $y$ が存在する。

$x, y \in V_1 \cup V_2$ であるから、$V_1 \cup V_2$ が部分空間であると仮定すると、$x + y \in V_1 \cup V_2$ となる。

したがって、$x + y \in V_1$ または $x + y \in V_2$ が成り立つ。

(i) $x + y \in V_1$ のとき、$x \in V_1$ より、$(x + y) - x = y \in V_1$ となる。これは、$y \notin V_1$ に矛盾する。

(ii) $x + y \in V_2$ のとき、$y \in V_2$ より、$(x + y) - y = x \in V_2$ となる。これは、$x \notin V_2$ に矛盾する。

したがって、$V_1 \not\subset V_2$ かつ $V_2 \not\subset V_1$ という仮定は誤りである。よって、$V_1 \subset V_2$ または $V_2 \subset V_1$ が成り立つ。

($\Leftarrow$) $V_1 \subset V_2$ または $V_2 \subset V_1$ $\Rightarrow$ $V_1 \cup V_2$ が部分空間であることを示す。

(i) $V_1 \subset V_2$ のとき、$V_1 \cup V_2 = V_2$ である。$V_2$ は部分空間であるから、$V_1 \cup V_2$ は部分空間である。

(ii) $V_2 \subset V_1$ のとき、$V_1 \cup V_2 = V_1$ である。$V_1$ は部分空間であるから、$V_1 \cup V_2$ は部分空間である。

3. 最終的な答え

$V_1 \cup V_2$ が部分空間になることと、$V_1 \subset V_2$ または $V_2 \subset V_1$ が成立することは同値である。