与えられた式 $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算して簡単にする問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)^2 - (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (a+b-c)^2$ を計算して簡単にする問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A=a+b+c$, $B=b+c-a$, $C=c+a-b$, $D=a+b-c$ と置くと、与えられた式は $A^2 - B^2 + C^2 - D^2$ となります。

$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ と $C^2 - D^2 = (C+D)(C-D)$ を利用します。

$A+B = (a+b+c) + (b+c-a) = 2b + 2c = 2(b+c)$

$A-B = (a+b+c) - (b+c-a) = 2a$

$C+D = (c+a-b) + (a+b-c) = 2a$

$C-D = (c+a-b) - (a+b-c) = 2c - 2b = 2(c-b)$

従って、

$A^2 - B^2 = (2(b+c))(2a) = 4a(b+c)$

$C^2 - D^2 = (2a)(2(c-b)) = 4a(c-b)$

与えられた式は次のようになります。

$4a(b+c) + 4a(c-b) = 4ab + 4ac + 4ac - 4ab = 8ac$

3. 最終的な答え

$8ac$