$a$ を実数とし、$x$ の多項式 $P(x) = x^3 + (a-4)x^2 + (a+8)x - 6a - 8$ とする。 (1) $P(x)$ を $x+3$ で割った余りを求め、$P(x) = 0$ が $a$ の値にかかわらず持つ整数の解を求める。また、$P(x)$ を因数分解する。 (2) 3次方程式 $P(x) = 0$ の解について、重解を持つときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を実数とし、$x$ の多項式 $P(x) = x^3 + (a-4)x^2 + (a+8)x - 6a - 8$ とする。

(1) $P(x)$ を $x+3$ で割った余りを求め、$P(x) = 0$ が $a$ の値にかかわらず持つ整数の解を求める。また、$P(x)$ を因数分解する。

(2) 3次方程式 $P(x) = 0$ の解について、重解を持つときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P(-3)$ を計算すると、

$P(-3) = (-3)^3 + (a-4)(-3)^2 + (a+8)(-3) - 6a - 8$

$= -27 + 9(a-4) - 3(a+8) - 6a - 8$

$= -27 + 9a - 36 - 3a - 24 - 6a - 8$

$= -95$

よって、$P(x)$ を $x+3$ で割った余りは -95。

$P(2)$ を計算すると、

$P(2) = 2^3 + (a-4)2^2 + (a+8)2 - 6a - 8$

$= 8 + 4(a-4) + 2(a+8) - 6a - 8$

$= 8 + 4a - 16 + 2a + 16 - 6a - 8$

$= 0$

したがって、$x = 2$ は $a$ の値にかかわらず $P(x) = 0$ の解である。

$P(x)$ を因数分解すると、

$P(x) = (x-2)(x^2 + (a-2)x + 3a + 4)$

よって、オ = 2, カ = 2, キ = 3, ク = 4

(2)

$P(x) = (x-2)(x^2 + (a-2)x + 3a + 4) = 0$ の解について、

$x=2$ を重解に持つのは、$x^2 + (a-2)x + 3a + 4 = 0$ が $x=2$ を解に持つとき。

$2^2 + (a-2)2 + 3a + 4 = 0$

$4 + 2a - 4 + 3a + 4 = 0$

$5a + 4 = 0$

$a = -\frac{4}{5}$

$x^2 + (a-2)x + 3a + 4 = 0$ が重解を持つのは、判別式 $D = 0$ のとき。

$D = (a-2)^2 - 4(3a+4) = 0$

$a^2 - 4a + 4 - 12a - 16 = 0$

$a^2 - 16a - 12 = 0$

$a = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4(-12)}}{2}$

$= \frac{16 \pm \sqrt{256 + 48}}{2}$

$= \frac{16 \pm \sqrt{304}}{2}$

$= \frac{16 \pm 4\sqrt{19}}{2}$

$= 8 \pm 2\sqrt{19}$

$a = -\frac{4}{5}$ のとき、$x=2$ が重解。

$a = 8 \pm 2\sqrt{19}$ のとき、$x=2$ 以外の重解を持つ。

したがって、ケコ = -4, サ = 5, シ = 8, ス = 2, セソ = 19

3. 最終的な答え

アイウ：-95

エ：2

オ：2

カ：2

キ：3

ク：4

ケコ：-4

サ：5

シ：8

ス：2

セソ：19