与えられた式 $(a - b + 1)(a + b - 1)$ を展開し、整理して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a - b + 1)(a + b - 1)$ を展開し、整理して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(a - b + 1)(a + b - 1) = a(a + b - 1) - b(a + b - 1) + 1(a + b - 1)$

次に、各項を展開します。

$= a^2 + ab - a - ab - b^2 + b + a + b - 1$

同類項をまとめます。

$= a^2 + ab - ab - a + a - b^2 + b + b - 1$

$= a^2 - b^2 + 2b - 1$

ここで、$2b - 1$ の部分に注目し、$- (1 - 2b)$ と変形することで、$-(1 - b)^2 + b^2$ のように変形できるか試みます。

$2b - 1 = -(1 - 2b)$

$2b - 1 = - (1 - b)^2 + b^2$ は誤りです。

さて、$a^2 - b^2 + 2b - 1$ をさらに変形します。

$a^2 - (b^2 - 2b + 1) = a^2 - (b - 1)^2$

これは、二乗の差の形 $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ で表せるので、

$= (a + (b - 1))(a - (b - 1))$

$= (a + b - 1)(a - b + 1)$

これは、元の式に戻ってしまいました。

元の式を整理します。

$a^2 - b^2 + 2b - 1 = a^2 - (b^2 - 2b + 1) = a^2 - (b-1)^2$

したがって、最終的な式は $a^2 - (b - 1)^2$ となります。

3. 最終的な答え

$a^2 - (b - 1)^2$