3次以下の多項式 $f(x)$ について、$f(x) = x^4$ が $x=1, 2, 3, 4$ で成り立つとき、$f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

3次以下の多項式 $f(x)$ について、$f(x) = x^4$ が $x=1, 2, 3, 4$ で成り立つとき、$f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = f(x) - x^4$ とおきます。すると、$g(x)$ は $x=1, 2, 3, 4$ で $g(x) = 0$ となります。したがって、$g(x)$ は $(x-1)$, $(x-2)$, $(x-3)$, $(x-4)$ を因数に持ちます。つまり、

$$g(x) = C(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$

と書けます。ここで、$C$ は定数です。

$f(x)$ は3次以下の多項式であるため、$g(x) = f(x) - x^4$ は3次以下の多項式から4次の多項式を引いたものなので、次数は4次以下です。したがって、

$f(x) = x^4 + C(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

において、$C=0$である必要があります。なぜなら、もし$C$がゼロでなければ、$f(x)$は4次の多項式になってしまい、$f(x)$は3次以下の多項式であるという条件に矛盾するからです。

したがって、$C = 0$ であるので、

$$g(x) = 0$$

$$f(x) - x^4 = 0$$

$$f(x) = x^4$$

ここで、$f(x)$ は3次以下の多項式であるという条件と、$f(1) = 1^4 = 1$, $f(2) = 2^4 = 16$, $f(3) = 3^4 = 81$, $f(4) = 4^4 = 256$ という条件を満たす3次以下の多項式を求めることを考えます。

一般に、3次多項式は $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ と表せます。このとき、以下の連立方程式が得られます。

$f(1) = a + b + c + d = 1$

$f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 16$

$f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 81$

$f(4) = 64a + 16b + 4c + d = 256$

この連立方程式を解くと、$a=b=c=d=0$ となります。しかし、$f(x)$は3次以下の多項式であるため、$f(x)=0$となります。

$g(x) = f(x) - x^4$ とおくと、$g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=0$です。$f(x)$ は3次以下の多項式なので、$g(x)$は4次式になります。したがって、$x^4$の係数は-1です。

$g(x) = -(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = -(x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24)$

$f(x) = x^4 + g(x) = x^4 - (x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24) = 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$

3. 最終的な答え

$f(x) = 10x^3 - 35x^2 + 50x - 24$