以下の3つの公式が成り立つことを証明する問題です。 (1) $\sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i$ (2) $\sum_{i=1}^{n} cx_i = c\sum_{i=1}^{n} x_i$, ただし $c$ は定数 (3) $\sum_{i=1}^{n} c = nc$, ただし $c$ は定数

1. 問題の内容

以下の3つの公式が成り立つことを証明する問題です。

(1) $\sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i$

(2) $\sum_{i=1}^{n} cx_i = c\sum_{i=1}^{n} x_i$, ただし $c$ は定数

(3) $\sum_{i=1}^{n} c = nc$, ただし $c$ は定数

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + \dots + (x_n + y_n)$

加法の結合法則より、

$\sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (y_1 + y_2 + \dots + y_n)$

それぞれの括弧はシグマの定義より、

$\sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i$

(2) $\sum_{i=1}^{n} cx_i = cx_1 + cx_2 + \dots + cx_n$

共通因数 $c$ でくくると、

$\sum_{i=1}^{n} cx_i = c(x_1 + x_2 + \dots + x_n)$

それぞれの括弧はシグマの定義より、

$\sum_{i=1}^{n} cx_i = c\sum_{i=1}^{n} x_i$

(3) $\sum_{i=1}^{n} c = c + c + \dots + c$ ($c$ が $n$ 個)

$c$ が $n$ 個あるので、

$\sum_{i=1}^{n} c = nc$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} y_i$

(2) $\sum_{i=1}^{n} cx_i = c\sum_{i=1}^{n} x_i$

(3) $\sum_{i=1}^{n} c = nc$