命題は「a+b=1ならば、2次方程式 $x^2 + ax - b = 0$ は (イ) をもつ」という形なので、主語は $a+b=1$ であることがわかります。

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1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax - b = 0$ が虚数解をもつならば、$a+b \ne 1$ であることを証明する問題で、証明の穴埋め形式になっています。具体的には、以下の空欄を埋めます。

* ア：命題の主語

* イ：2次方程式の解の種類

* ウ：$a+b=1$ を変形した $b$ の式

* エ：判別式を計算した結果の式

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2. 解き方の手順

1. **アを埋める**:

命題は「a+b=1ならば、2次方程式 $x^2 + ax - b = 0$ は (イ) をもつ」という形なので、主語は $a+b=1$ であることがわかります。

2. **ウを埋める**:

$a+b=1$ を $b$ について解くと、

$b = 1 - a$

となります。

3. **エを埋める**:

2次方程式 $x^2 + ax - b = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = a^2 - 4(1)(-b) = a^2 + 4b$

ここで、$b = 1 - a$ を代入すると、

$D = a^2 + 4(1 - a) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

4. **イを埋める**:

$D = (a - 2)^2 \ge 0$ なので、$a+b=1$ のとき、2次方程式 $x^2 + ax - b = 0$ は実数解を持つことがわかります。特に $D>0$ であれば異なる2つの実数解をもち、$D=0$であれば重解をもちます。したがって、$a+b=1$ ならば $x^2+ax-b=0$ は虚数解をもつことはありません。よって、「虚数解をもたない」と表現するのが適当です。

問題文より、2次方程式 $x^2 + ax - b = 0$ が虚数解をもつならば、$a+b \ne 1$ であることを証明するので、対偶を考えると、$a+b=1$ ならば $x^2 + ax - b = 0$ は虚数解を持たない、と言えます。

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3. 最終的な答え

ア：a+b=1

イ：実数解

ウ：1-a

エ：a-2