与えられた式 $\frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ を計算して、分母を有理化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ を計算して、分母を有理化します。

2. 解き方の手順

まず、分母から $\sqrt{3}$ を消すことを考えます。分母を $1 - \sqrt{2} + \sqrt{3} = (1 - \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ と見なして、$(1 - \sqrt{2}) - \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{(1 - \sqrt{2}) + \sqrt{3}} \cdot \frac{(1 - \sqrt{2}) - \sqrt{3}}{(1 - \sqrt{2}) - \sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

次に、分母を計算します。

$(1 - \sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$

$(1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 3 - 2\sqrt{2} - 3 = -2\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}{-2\sqrt{2}} = \frac{(1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{-2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 2 - \sqrt{6}}{-4} = \frac{-\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}}{4} = \frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$