与えられた公式 $\sum_{i=1}^{n}(x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}y_i$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

与えられた公式

$\sum_{i=1}^{n}(x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}y_i$

が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

$\sum_{i=1}^{n}(x_i + y_i)$ を展開する。

$\sum_{i=1}^{n}(x_i + y_i) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + \dots + (x_n + y_n)$

次に、括弧を外して、項を並び替える。

$(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + \dots + (x_n + y_n) = (x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (y_1 + y_2 + \dots + y_n)$

ここで、$\sum_{i=1}^{n}x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ および $\sum_{i=1}^{n}y_i = y_1 + y_2 + \dots + y_n$ である。

したがって、

$(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (y_1 + y_2 + \dots + y_n) = \sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}y_i$

ゆえに、

$\sum_{i=1}^{n}(x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}y_i$

3. 最終的な答え

$\sum_{i=1}^{n}(x_i + y_i) = \sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}y_i$

が成り立つ。