不等式 $3x + 4y \le 20$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $3x + 4y \le 20$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ は正の整数なので、$x \ge 1$ かつ $y \ge 1$ である。

$3x + 4y \le 20$ を満たす $x$ と $y$ の組を求める。

$y = 1$ のとき、 $3x + 4 \le 20$ なので $3x \le 16$ となり、$x \le \frac{16}{3} = 5.33...$。 よって $x = 1, 2, 3, 4, 5$ の5組。

$y = 2$ のとき、 $3x + 8 \le 20$ なので $3x \le 12$ となり、$x \le 4$。 よって $x = 1, 2, 3, 4$ の4組。

$y = 3$ のとき、 $3x + 12 \le 20$ なので $3x \le 8$ となり、$x \le \frac{8}{3} = 2.66...$。 よって $x = 1, 2$ の2組。

$y = 4$ のとき、 $3x + 16 \le 20$ なので $3x \le 4$ となり、$x \le \frac{4}{3} = 1.33...$。 よって $x = 1$ の1組。

$y = 5$ のとき、 $3x + 20 \le 20$ なので $3x \le 0$ となり、$x \le 0$。 これは $x \ge 1$ に反するので、該当する $x$ は存在しない。

したがって、条件を満たす組は、

$(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)$

$(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2)$

$(1, 3), (2, 3)$

$(1, 4)$

合計 $5 + 4 + 2 + 1 = 12$ 組である。

3. 最終的な答え

12個