右の表において、どの縦、横、斜めの3つの式を加えても和が等しくなる。このとき、ア、イ、ウにあてはまる式を求める。

1. 問題の内容

右の表において、どの縦、横、斜めの3つの式を加えても和が等しくなる。このとき、ア、イ、ウにあてはまる式を求める。

2. 解き方の手順

まず、既知の式が並んでいる行または列の和を計算する。例えば、一番上の行の和を計算すると、

$a^2 - a + \text{ア} + 3a^2 - a = 4a^2 - 2a + \text{ア}$

となる。次に、右下の斜めの和を計算すると、

$3a^2 - a + a^2 - a + (-a^2 + a) = 3a^2 - a$

となる。したがって、すべての行、列、斜めの和は $3a^2 - a$ に等しくなければならない。

* **アを求める:**

一番上の行の和が $3a^2 - a$ になるようにアを求める。

$4a^2 - 2a + \text{ア} = 3a^2 - a$

$\text{ア} = 3a^2 - a - (4a^2 - 2a)$

$\text{ア} = 3a^2 - a - 4a^2 + 2a$

$\text{ア} = -a^2 + a$

* **イを求める:**

一番左の列の和が $3a^2 - a$ になるようにイを求める。

$a^2 - a + \text{イ} + (-a^2 + a) = 3a^2 - a$

$\text{イ} = 3a^2 - a - (a^2 - a) - (-a^2 + a)$

$\text{イ} = 3a^2 - a - a^2 + a + a^2 - a$

$\text{イ} = 3a^2 - a$

* **ウを求める:**

一番下の行の和が $3a^2 - a$ になるようにウを求める。

$-a^2 + a + 3a^2 - 2a + \text{ウ} = 3a^2 - a$

$2a^2 - a + \text{ウ} = 3a^2 - a$

$\text{ウ} = 3a^2 - a - (2a^2 - a)$

$\text{ウ} = 3a^2 - a - 2a^2 + a$

$\text{ウ} = a^2$

3. 最終的な答え

ア: $-a^2 + a$

イ: $3a^2 - a$

ウ: $a^2$