問題は2つあります。 (1) 図において、OXを始線とする動径OPの表す一般角 $\theta$ を求める問題です。$\theta = -30^\circ + \boxed{1}\boxed{2}\boxed{3} n^\circ$ (nは整数) の形式で答えます。 (2) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求める問題です。

はい、数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 図において、OXを始線とする動径OPの表す一般角 $\theta$ を求める問題です。$\theta = -30^\circ + \boxed{1}\boxed{2}\boxed{3} n^\circ$ (nは整数) の形式で答えます。

(2) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

動径OPは、始線OXから時計回りに30度回転した位置にあります。一般角は、この角度に360度の整数倍を加えることで表現できます。したがって、

$\theta = -30^\circ + 360^\circ n$

ここで、$n$ は整数です。よって、$\boxed{1}=3$, $\boxed{2}=6$, $\boxed{3}=0$ になります。

(2)

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$

両辺を2乗すると、

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}$

$1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$

よって、$\frac{\boxed{4}}{\boxed{5}} = \frac{3}{8}$

次に、$\sin^3\theta - \cos^3\theta$ を求めます。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{3}{8}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$

よって、$\frac{\boxed{6}\boxed{7}}{\boxed{8}\boxed{9}} = \frac{11}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = -30^\circ + 360^\circ n$

(2) $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{11}{16}$