与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 3x + 1$ (2) $x^2 - 2x + 2$ (3) $3x^2 - 2x + 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 3x + 1$

(2) $x^2 - 2x + 2$

(3) $3x^2 - 2x + 1$

2. 解き方の手順

2次式を因数分解するには、まず解の公式を用いて2次方程式の解を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられます。

求めた解を $\alpha, \beta$ とすると、2次式 $ax^2 + bx + c$ は $a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

(1) $x^2 + 3x + 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

よって、$x^2 + 3x + 1 = (x - \frac{-3 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) = (x + \frac{3 - \sqrt{5}}{2})(x + \frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

(2) $x^2 - 2x + 2 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

よって、$x^2 - 2x + 2 = (x - (1 + i))(x - (1 - i)) = (x - 1 - i)(x - 1 + i)$

(3) $3x^2 - 2x + 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}i}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{2}i}{3}$

よって、$3x^2 - 2x + 1 = 3(x - \frac{1 + \sqrt{2}i}{3})(x - \frac{1 - \sqrt{2}i}{3}) = 3(x - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}i)(x - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}i)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + \frac{3 - \sqrt{5}}{2})(x + \frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

(2) $(x - 1 - i)(x - 1 + i)$

(3) $3(x - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}i)(x - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}i)$