(1) 放物線 $y = x^2 - 4x$ を、$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。 (2) ある放物線を $x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した後、$x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = -x^2 - 3x + 3$ となった。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 - 4x$ を、$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

(2) ある放物線を $x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した後、$x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = -x^2 - 3x + 3$ となった。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2 - 4x$ を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動することを考えます。

平行移動後の放物線上の点を $(x', y')$ とすると、

$x = x' - 2$

$y = y' + 1$

となるので、これらを $y = x^2 - 4x$ に代入します。

$y' + 1 = (x' - 2)^2 - 4(x' - 2)$

$y' + 1 = x'^2 - 4x' + 4 - 4x' + 8$

$y' + 1 = x'^2 - 8x' + 12$

$y' = x'^2 - 8x' + 11$

よって、求める放物線の方程式は $y = x^2 - 8x + 11$ となります。

(2)

まず、$x$軸に関して対称移動する前の放物線の方程式を求めます。$x$軸に関して対称移動するということは、$y$を$-y$に置き換える操作なので、

$-y = -x^2 - 3x + 3$

$y = x^2 + 3x - 3$

次に、$x$軸方向に $1$、$y$軸方向に $-2$ だけ平行移動する前の放物線を求めます。移動後の点を $(x', y')$ とすると、移動前の点は $(x' - 1, y' + 2)$ となります。

したがって、$x$を $x-1$、$y$を $y+2$ に置き換えることになります。

$y + 2 = (x - 1)^2 + 3(x - 1) - 3$

$y + 2 = x^2 - 2x + 1 + 3x - 3 - 3$

$y + 2 = x^2 + x - 5$

$y = x^2 + x - 7$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 8x + 11$

(2) $y = x^2 + x - 7$