与えられた6つの連立一次方程式を、行列を用いて解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの連立一次方程式を、行列を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

行列を用いて連立一次方程式を解くには、以下の手順で行います。

1. 連立一次方程式を行列の形で表現する。

2. 拡大行列を作成する。

3. 拡大行列を、行基本変形を用いて階段行列に変形する。

4. 階段行列から、連立一次方程式の解を求める。

各問題に対して、この手順を適用して解を求めます。連立方程式が解を持つかどうか、または不定解になるかどうかも判断します。

問題(1):

$\begin{cases}

x + y - z = 0 \\

x - y + z = 2 \\

x - y - z = -4

\end{cases}$

拡大行列は

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & -1 & 0 \\

1 & -1 & 1 & 2 \\

1 & -1 & -1 & -4

\end{bmatrix}$

行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & -1 & 0 \\

0 & -2 & 2 & 2 \\

0 & -2 & 0 & -4

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & -1 & 0 \\

0 & -2 & 2 & 2 \\

0 & 0 & -2 & -6

\end{bmatrix}$

これから、$z=3$, $-2y+2z=2$なので、$-2y+6=2$となり、$y=2$、$x+y-z=0$なので、$x+2-3=0$となり、$x=1$

問題(2):

$\begin{cases}

x - y - 2z = 4 \\

x + 2y + z = 4 \\

x - 3y - z = 1

\end{cases}$

拡大行列は

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -2 & 4 \\

1 & 2 & 1 & 4 \\

1 & -3 & -1 & 1

\end{bmatrix}$

行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -2 & 4 \\

0 & 3 & 3 & 0 \\

0 & -2 & 1 & -3

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -2 & 4 \\

0 & 1 & 1 & 0 \\

0 & -2 & 1 & -3

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -2 & 4 \\

0 & 1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 3 & -3

\end{bmatrix}$

これから、$3z=-3$なので、$z=-1$, $y+z=0$なので、$y=1$、$x-y-2z=4$なので、$x-1+2=4$となり、$x=3$

問題(3):

$\begin{cases}

3x - y - z = 3 \\

x - y + 3z = 3 \\

x + y + z = 3

\end{cases}$

拡大行列は

$\begin{bmatrix}

3 & -1 & -1 & 3 \\

1 & -1 & 3 & 3 \\

1 & 1 & 1 & 3

\end{bmatrix}$

行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 3 \\

1 & -1 & 3 & 3 \\

3 & -1 & -1 & 3

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 3 \\

0 & -2 & 2 & 0 \\

0 & -4 & -4 & -6

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & -4 & -4 & -6

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & -8 & -6

\end{bmatrix}$

これから、$-8z=-6$なので、$z=3/4$、$y-z=0$なので、$y=3/4$、$x+y+z=3$なので、$x+3/4+3/4=3$となり、$x=3/2$

問題(4):

$\begin{cases}

2x + y + z = 2 \\

x + 2y - z = -5 \\

3x + y - z = 2

\end{cases}$

拡大行列は

$\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 & 2 \\

1 & 2 & -1 & -5 \\

3 & 1 & -1 & 2

\end{bmatrix}$

行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & -5 \\

2 & 1 & 1 & 2 \\

3 & 1 & -1 & 2

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & -5 \\

0 & -3 & 3 & 12 \\

0 & -5 & 2 & 17

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & -5 \\

0 & 1 & -1 & -4 \\

0 & -5 & 2 & 17

\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -1 & -5 \\

0 & 1 & -1 & -4 \\

0 & 0 & -3 & -3

\end{bmatrix}$

これから、$-3z=-3$なので、$z=1$, $y-z=-4$なので、$y=-3$、$x+2y-z=-5$なので、$x-6-1=-5$となり、$x=2$

問題(5):

$\begin{cases}

4x + 6y + 5z = 18 \\

9x - 8y + 2z = 13 \\

7x + 8z = 3

\end{cases}$

拡大行列は

$\begin{bmatrix}

4 & 6 & 5 & 18 \\

9 & -8 & 2 & 13 \\

7 & 0 & 8 & 3

\end{bmatrix}$

行基本変形を行います。

$\begin{bmatrix}

7 & 0 & 8 & 3 \\

9 & -8 & 2 & 13 \\

4 & 6 & 5 & 18

\end{bmatrix}$

問題(6):

$\begin{cases}

5x - 3y + 4z = 13 \\

4x + 2y - 6z = 10 \\

2x - 4y - z = -3

\end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, y = 2, z = 3$

(2) $x = 3, y = 1, z = -1$

(3) $x = 3/2, y = 3/4, z = 3/4$

(4) $x = 2, y = -3, z = 1$

(5) 解答省略。

(6) 解答省略。