与えられた3つの漸化式で定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求める。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ (3) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$

1. 問題の内容

与えられた3つの漸化式で定義される数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3^n$

(3) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ を解く。

まず、$a_{n+1} + \alpha = 2(a_n + \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = 2a_n + \alpha$ と $a_{n+1} = 2a_n + 3$ より $\alpha = 3$. よって、$\alpha = 3$

$a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$.

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となる。

$b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$.

したがって、$b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$.

$a_n = b_n - 3 = 2^{n+1} - 3$.

(2)

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ を解く。

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} + \frac{3^n}{3^{n+1}}$.

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$.

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n + \frac{1}{3}$.

$b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3} (b_n - 1)$.

$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

$b_n - 1 = (b_1 - 1) (\frac{2}{3})^{n-1} = (\frac{1}{3} - 1) (\frac{2}{3})^{n-1} = -\frac{2}{3} (\frac{2}{3})^{n-1} = -(\frac{2}{3})^n$.

$b_n = 1 - (\frac{2}{3})^n$.

$a_n = 3^n b_n = 3^n (1 - (\frac{2}{3})^n) = 3^n - 2^n$.

(3)

漸化式 $a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$ を解く。

特性方程式 $x^2 - 3x - 4 = 0$ を解く。

$(x-4)(x+1) = 0$.

よって、$x = 4, -1$.

したがって、$a_{n+2} - 4a_{n+1} = -(a_{n+1} - 4a_n)$.

$a_{n+2} + a_{n+1} = 4(a_{n+1} + a_n)$.

$a_{n+2} - 4a_{n+1} = -(a_{n+1} - 4a_n)$より、$a_{n+1} - 4a_n = (a_2 - 4a_1)(-1)^{n-1} = (2-4)(-1)^{n-1} = -2(-1)^{n-1} = 2(-1)^n$.

$a_{n+1} + a_n = (a_2 + a_1)4^{n-1} = (2+1)4^{n-1} = 3 \cdot 4^{n-1}$.

したがって、$a_{n+1} = 3 \cdot 4^{n-1} - a_n$.

$a_{n+1} = 2(-1)^n + 4a_n$.

$a_n = c_1 4^n + c_2 (-1)^n$ とおくと、

$a_1 = 4c_1 - c_2 = 1$.

$a_2 = 16c_1 + c_2 = 2$.

$20c_1 = 3$. よって、$c_1 = \frac{3}{20}$.

$c_2 = 4c_1 - 1 = 4 \cdot \frac{3}{20} - 1 = \frac{3}{5} - 1 = -\frac{2}{5}$.

$a_n = \frac{3}{20} 4^n - \frac{2}{5} (-1)^n = \frac{3}{20} 4^n - \frac{8}{20} (-1)^n = \frac{3 \cdot 4^n - 8(-1)^n}{20}$.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n+1} - 3$

(2) $a_n = 3^n - 2^n$

(3) $a_n = \frac{3 \cdot 4^n - 8(-1)^n}{20}$