次の2次不等式を満たす整数 $x$ をすべて求めよ。 $x^2 - 2x - 4 < 0$

1. 問題の内容

次の2次不等式を満たす整数 $x$ をすべて求めよ。

$x^2 - 2x - 4 < 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次不等式 $x^2 - 2x - 4 < 0$ の左辺の2次式について、対応する2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ の解を求めます。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x = 1 + \sqrt{5}$ と $x = 1 - \sqrt{5}$ が2次方程式の解です。

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ を満たすので、$1 - 3 < 1 - \sqrt{5} < 1 - 2$、つまり $-2 < 1 - \sqrt{5} < -1$ が成り立ちます。

また、$1 + 2 < 1 + \sqrt{5} < 1 + 3$、つまり $3 < 1 + \sqrt{5} < 4$ が成り立ちます。

不等式 $x^2 - 2x - 4 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ です。

整数 $x$ を求めるので、$-2 < 1 - \sqrt{5} < -1$ と $3 < 1 + \sqrt{5} < 4$ から、$-1 \le x \le 3$ となります。

したがって、不等式を満たす整数 $x$ は、$x = -1, 0, 1, 2, 3$ です。

3. 最終的な答え

$x = -1, 0, 1, 2, 3$