2次方程式 $x^2 - 2mx - 4m = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx - 4m = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D$ が負となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4m) = 4m^2 + 16m$

となります。

$D < 0$ のとき実数解をもたないので、

$4m^2 + 16m < 0$

$4m(m + 4) < 0$

$m(m + 4) < 0$

この不等式を満たす $m$ の範囲は、$-4 < m < 0$ です。

3. 最終的な答え

$-4 < m < 0$