2次不等式 $x^2 + ax + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + ax + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + ax + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるということは、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が $x=2$ と $x=3$ であることを意味します。

したがって、$x^2 + ax + b = (x-2)(x-3)$ となります。

これを展開すると、$x^2 + ax + b = x^2 - 5x + 6$ となります。

この式から、$a = -5$ および $b = 6$ であることがわかります。

ここで、不等式 $x^2 - 5x + 6 > 0$ を解いて確認します。

$(x-2)(x-3) > 0$ となるので、$x < 2$ または $x > 3$ となります。

問題文では$2 < x < 3$とありますが、これは不等号の向きが逆になっています。よって、$x^2 + ax + b < 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように考える必要があります。

$x^2+ax+b<0$の解が$2<x<3$なので、$x^2+ax+b = (x-2)(x-3) = x^2-5x+6$

したがって、$a=-5$, $b=6$とすると、$x^2-5x+6<0$となり、解は$2<x<3$となる。

問題の不等式は$x^2+ax+b>0$なので、$x^2+ax+b = -(x-2)(x-3)=-x^2+5x-6$

$x^2+ax+b = 0$の解が$2,3$なので、解と係数の関係より

$2+3 = -a$ よって $a=-5$

$2*3 = b$ よって $b=6$

$x^2 -5x +6 < 0$

3. 最終的な答え

$a = -5$, $b = 6$