2つの有理式の問題を解きます。 (1) $\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2}$ (2) $\frac{x+5}{x^2-2x-3} + \frac{1}{x^2+3x+2}$

1. 問題の内容

2つの有理式の問題を解きます。

(1) $\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2}$

(2) $\frac{x+5}{x^2-2x-3} + \frac{1}{x^2+3x+2}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が同じなので、分子をまとめて計算します。

$\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x-2}$

分子を因数分解します。

$\frac{x^2 - 4x + 4}{x-2} = \frac{(x-2)^2}{x-2}$

$x-2$ で約分します。ただし、$x \neq 2$。

$\frac{(x-2)^2}{x-2} = x-2$

(2) それぞれの分母を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

与えられた式は次のようになります。

$\frac{x+5}{(x-3)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

通分します。

$\frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)(x+1)(x+2)} + \frac{1(x-3)}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

分子をまとめます。

$\frac{(x+5)(x+2) + (x-3)}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 + 7x + 10 + x - 3}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

分子を整理します。

$\frac{x^2 + 8x + 7}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$\frac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

$x+1$ で約分します。ただし、$x \neq -1$。

$\frac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x+7}{(x-3)(x+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $x-2$

(2) $\frac{x+7}{(x-3)(x+2)}$