2つの連立方程式が与えられており、それらが同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。連立方程式は以下の通りです。 連立方程式1: $\begin{cases} -x+2y=8 \\ ax-by=-9 \end{cases}$ 連立方程式2: $\begin{cases} -2x+y=7 \\ -bx+ay=11 \end{cases}$

1. 問題の内容

2つの連立方程式が与えられており、それらが同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求める問題です。連立方程式は以下の通りです。

連立方程式1:

$\begin{cases}

-x+2y=8 \\

ax-by=-9

\end{cases}$

連立方程式2:

$\begin{cases}

-2x+y=7 \\

-bx+ay=11

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、共通の解を持つ連立方程式 $-x+2y=8$ と $-2x+y=7$ を解き、$x$と$y$の値を求めます。

$-x+2y=8$ を(1)式、$-2x+y=7$ を(2)式とします。

(1)式を2倍すると、$-2x+4y=16$ となります。これを(3)式とします。

(3)式から(2)式を引くと、

$(-2x+4y)-(-2x+y) = 16 - 7$

$3y = 9$

$y = 3$

$y=3$ を(1)式に代入すると、

$-x + 2(3) = 8$

$-x + 6 = 8$

$-x = 2$

$x = -2$

したがって、共通の解は、$x=-2$、$y=3$です。

次に、$x=-2$、$y=3$を$ax-by=-9$と$-bx+ay=11$に代入し、$a$と$b$に関する連立方程式を立てます。

$a(-2) - b(3) = -9$

$-2a - 3b = -9$ (4)

$-b(-2) + a(3) = 11$

$2b + 3a = 11$ (5)

(4)式を2倍すると、$-4a - 6b = -18$ (6)

(5)式を3倍すると、$6b + 9a = 33$ (7)

(6)式と(7)式を足し合わせると、

$(-4a - 6b) + (9a + 6b) = -18 + 33$

$5a = 15$

$a = 3$

$a=3$ を(5)式に代入すると、

$2b + 3(3) = 11$

$2b + 9 = 11$

$2b = 2$

$b = 1$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 1$