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与えられた式 $3x^3 - 81$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式差の立方公式
2025/5/22

1. 問題の内容

与えられた式 3x3−813x^3 - 81 を因数分解します。

2. 解き方の手順

ステップ1: 共通因数をくくり出す
3x33x^3 と 8181 の最大公約数は 33 なので、33 をくくり出します。
3x3−81=3(x3−27)3x^3 - 81 = 3(x^3 - 27)
ステップ2: 差の立方公式を適用
x3−27x^3 - 27 は x3−33x^3 - 3^3 と表せるので、差の立方公式 a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) を適用します。
ここで、a=xa = x、b=3b = 3 とすると、
x3−33=(x−3)(x2+3x+32)=(x−3)(x2+3x+9)x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3^2) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)
ステップ3: 全体の因数分解
ステップ1とステップ2の結果を組み合わせると、
3x3−81=3(x3−27)=3(x−3)(x2+3x+9)3x^3 - 81 = 3(x^3 - 27) = 3(x - 3)(x^2 + 3x + 9)

3. 最終的な答え

3(x−3)(x2+3x+9)3(x - 3)(x^2 + 3x + 9)

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