与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。問題は3つの小問から構成されています。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ (3) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。問題は3つの小問から構成されています。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3^n$

(3) $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 2a_n + 3$ の解法

特性方程式 $x = 2x + 3$ を解くと $x = -3$ となります。

したがって、漸化式は $a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、$b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$ であるから、$b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$ となります。

よって、$a_n = b_n - 3 = 2^{n+1} - 3$。

(2) $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ の解法

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} + \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n + \frac{1}{3}$ となります。

特性方程式 $x = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$ を解くと $x = 1$ となります。

$b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3} (b_n - 1)$

$c_n = b_n - 1$ とおくと、$c_{n+1} = \frac{2}{3} c_n$ となり、$c_1 = b_1 - 1 = \frac{a_1}{3^1} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$ であるから、$c_n = -\frac{2}{3} (\frac{2}{3})^{n-1} = -\frac{2^n}{3^n}$ となります。

よって、$b_n = c_n + 1 = 1 - \frac{2^n}{3^n}$ となり、$a_n = 3^n b_n = 3^n (1 - \frac{2^n}{3^n}) = 3^n - 2^n$。

(3) $a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n$ の解法

特性方程式 $x^2 = 3x + 4$ を解くと、$x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1) = 0$ となり、$x = 4, -1$ となります。

したがって、$a_{n+2} - 4a_{n+1} = -1(a_{n+1} - 4a_n)$

$a_{n+2} + a_{n+1} = 4(a_{n+1} + a_n)$

$b_n = a_{n+1} - 4a_n$ とおくと、$b_{n+1} = -b_n$ であり、$b_1 = a_2 - 4a_1 = 2 - 4(1) = -2$ であるから、$b_n = -2(-1)^{n-1} = 2(-1)^n$。

$c_n = a_{n+1} + a_n$ とおくと、$c_{n+1} = 4c_n$ であり、$c_1 = a_2 + a_1 = 2 + 1 = 3$ であるから、$c_n = 3 \cdot 4^{n-1}$。

$a_{n+1} - 4a_n = 2(-1)^n$

$a_{n+1} + a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

上の式から下の式を引くと、$-5a_n = 2(-1)^n - 3 \cdot 4^{n-1}$

$a_n = \frac{3 \cdot 4^{n-1} - 2(-1)^n}{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n+1} - 3$

(2) $a_n = 3^n - 2^n$

(3) $a_n = \frac{3 \cdot 4^{n-1} - 2(-1)^n}{5}$