二項定理を用いて、以下の2つの問題に答えます。 (1) $(3x+2)^5$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。 (2) $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^4 y^3$ の係数を求める。

1. 問題の内容

二項定理を用いて、以下の2つの問題に答えます。

(1) $(3x+2)^5$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。

(2) $(2x-3y)^7$ の展開式における $x^4 y^3$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(3x+2)^5$ の展開式について：

二項定理より、$(a+b)^n$ の展開式は次のようになります。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

今回の問題では、$a = 3x$, $b = 2$, $n = 5$ です。 $x^4$ の係数を求めたいので、$n-k = 4$ となる $k$ を探します。

$5 - k = 4$ より、$k = 1$ です。したがって、$x^4$ の項は次のようになります。

$\binom{5}{1} (3x)^4 (2)^1 = 5 \cdot (81x^4) \cdot 2 = 5 \cdot 81 \cdot 2 \cdot x^4 = 810x^4$

したがって、$x^4$ の係数は $810$ です。

(2) $(2x-3y)^7$ の展開式について：

二項定理より、$(a+b)^n$ の展開式は次のようになります。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

今回の問題では、$a = 2x$, $b = -3y$, $n = 7$ です。 $x^4 y^3$ の係数を求めたいので、$n-k = 4$ となる $k$ を探します。

$7 - k = 4$ より、$k = 3$ です。したがって、$x^4 y^3$ の項は次のようになります。

$\binom{7}{3} (2x)^4 (-3y)^3 = \binom{7}{3} (16x^4) (-27y^3) = \frac{7!}{3!4!} \cdot 16 \cdot (-27) \cdot x^4 y^3$

$\frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

$35 \cdot 16 \cdot (-27) = -15120$

したがって、$x^4 y^3$ の係数は $-15120$ です。

3. 最終的な答え

(1) $810$

(2) $-15120$