(1) 連分数 $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$ を簡略化してください。 (2) 和 $ \frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)}$ を簡略化してください。

1. 問題の内容

(1) 連分数 $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$ を簡略化してください。

(2) 和 $\frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)}$ を簡略化してください。

2. 解き方の手順

(1)

まず、最も内側の分数を簡略化します。

$2 + \frac{1}{x} = \frac{2x + 1}{x}$

次に、その逆数を計算します。

$\frac{1}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{x}{2x + 1}$

次に、それに2を加算します。

$2 + \frac{x}{2x + 1} = \frac{2(2x+1) + x}{2x+1} = \frac{4x + 2 + x}{2x+1} = \frac{5x + 2}{2x+1}$

次に、その逆数を計算します。

$\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}} = \frac{2x + 1}{5x + 2}$

最後に、それに1を加算します。

$1 + \frac{2x + 1}{5x + 2} = \frac{(5x+2) + (2x+1)}{5x+2} = \frac{7x + 3}{5x + 2}$

(2)

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$

$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}$

これらの和を計算します。

$(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}) + (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}) = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}$

多くの項が相殺されるので、残るのは

$\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x-3)}{x(x-3)} = \frac{3}{x(x-3)} = \frac{3}{x^2 - 3x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7x + 3}{5x + 2}$

(2) $\frac{3}{x(x-3)}$