$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^3y + xy^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^3y + xy^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^3y + xy^3$ を因数分解します。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$

さらに、$x^2 + y^2$ を変形します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

したがって、

$x^3y + xy^3 = xy((x+y)^2 - 2xy)$

ここで、$x+y$ と $xy$ の値を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

これらの値を代入して、$x^3y + xy^3$ の値を計算します。

$x^3y + xy^3 = xy((x+y)^2 - 2xy) = \frac{1}{2}((\sqrt{7})^2 - 2 \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(7 - 1) = \frac{1}{2} \times 6 = 3$

3. 最終的な答え

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