$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$xy = \frac{1}{\Box}$ の $\Box$ に当てはまる値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$xy = \frac{1}{\Box}$ の $\Box$ に当てはまる値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$xy$ の値を計算する。

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$xy = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{4}$

$(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})$ を計算する。これは和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用する。

$(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$

よって、

$xy = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{xy} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$　より、$xy = \frac{1}{2}$である。

3. 最終的な答え

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