SENSEI AI
About App

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$ , $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めよ。

代数学式の計算平方根展開代入
2025/5/22

1. 問題の内容

x=7+52x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} , y=7−52y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} のとき、x2+y2x^2 + y^2 の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、x2x^2とy2y^2をそれぞれ計算します。
x2=(7+52)2=(7)2+275+(5)222=7+235+54=12+2354x^2 = (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{4} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{4}
y2=(7−52)2=(7)2−275+(5)222=7−235+54=12−2354y^2 = (\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{7 - 2\sqrt{35} + 5}{4} = \frac{12 - 2\sqrt{35}}{4}
次に、x2+y2x^2 + y^2 を計算します。
x2+y2=12+2354+12−2354=12+235+12−2354=244=6x^2 + y^2 = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{4} + \frac{12 - 2\sqrt{35}}{4} = \frac{12 + 2\sqrt{35} + 12 - 2\sqrt{35}}{4} = \frac{24}{4} = 6

3. 最終的な答え

6

「代数学」の関連問題

$r$ は実数であるとき、「$x=-1 \Rightarrow x^2 = 1$」の逆の命題をつくり、選択肢から選ぶ問題です。

命題論理逆実数代数
2025/5/22

$r$ は実数とします。$x = -1 \implies x^2 = 1$ の逆の命題をつくりなさい。選択肢は以下の4つです。 ア. $x^2 = 1 \implies x = -1$ イ. $x^2...

命題論理逆実数二次方程式
2025/5/22

与えられた3x3行列の逆行列を掃き出し法を用いて求める問題です。与えられた行列は $ \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 9 & -8 & 2 \\ 7 & 0 & 8 \end...

線形代数行列逆行列掃き出し法
2025/5/22

与えられた命題 $x > 2 \implies x^2 > 4$ の対偶を、選択肢の中から選ぶ問題です。

命題対偶不等式
2025/5/22

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 9 & -8 & 2 \\ 7 & 0 & 8 \end{pmatrix}$ の逆行列を掃き出し法を用いて求める。

線形代数行列逆行列掃き出し法
2025/5/22

与えられた条件「$m, n$ の少なくとも一方は有理数である」の否定を、選択肢の中から選ぶ問題です。ここで、$m$ と $n$ は実数です。

論理命題否定有理数無理数
2025/5/22

$x^2 = 2$ は $x = -\sqrt{2}$ であるためのどのような条件か（十分条件、必要条件、必要十分条件）を答える問題です。

条件必要条件十分条件二次方程式
2025/5/22

(x-4)^2 = 0 は x = 4 であるための何条件か（十分条件、必要条件、必要十分条件のうちどれか）を答える問題です。

命題条件必要十分条件二次方程式
2025/5/22

$x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための何という条件であるかを答える問題です。選択肢は「十分」、「必要」、「必要十分」の3つです。

条件命題必要十分条件
2025/5/22

$x > 1$ は $x > 3$ であるための何条件か（十分条件、必要条件、必要十分条件）を答える問題です。

条件不等式必要条件十分条件
2025/5/22