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与えられた3x3行列の逆行列を掃き出し法を用いて求める問題です。与えられた行列は $ \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 9 & -8 & 2 \\ 7 & 0 & 8 \end{pmatrix} $ です。

代数学線形代数行列逆行列掃き出し法
2025/5/22

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の逆行列を掃き出し法を用いて求める問題です。与えられた行列は
(4659−82708) \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 9 & -8 & 2 \\ 7 & 0 & 8 \end{pmatrix}
です。

2. 解き方の手順

掃き出し法を用いて逆行列を求めるには、与えられた行列に単位行列を並べた拡大行列を作り、行基本変形を繰り返して、左側の行列を単位行列に変形します。このとき、右側の行列が元の行列の逆行列になります。
まず、拡大行列を作ります。
(4651009−82010708001) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 4 & 6 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 9 & -8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
1行目を4で割ります。
(13/25/41/4009−82010708001) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 5/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 9 & -8 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
2行目から1行目の9倍を引きます。
(13/25/41/4000−43/2−37/4−9/410708001) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 5/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & -43/2 & -37/4 & -9/4 & 1 & 0 \\ 7 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
3行目から1行目の7倍を引きます。
(13/25/41/4000−43/2−37/4−9/4100−21/2−3/4−7/401) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 5/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & -43/2 & -37/4 & -9/4 & 1 & 0 \\ 0 & -21/2 & -3/4 & -7/4 & 0 & 1 \end{array} \right)
2行目を-2/43倍します。
(13/25/41/4000137/869/86−2/4300−21/2−3/4−7/401) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 5/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 37/86 & 9/86 & -2/43 & 0 \\ 0 & -21/2 & -3/4 & -7/4 & 0 & 1 \end{array} \right)
3行目に2行目の21/2倍を加えます。
(13/25/41/4000137/869/86−2/43000630/172−516/172−7/4+189/172−21/431) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 5/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 37/86 & 9/86 & -2/43 & 0 \\ 0 & 0 & 630/172 - 516/172 & -7/4 + 189/172 & -21/43 & 1 \end{array} \right)
(13/25/41/4000137/869/86−2/43000114/172−301/172+189/172−21/431) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 5/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 37/86 & 9/86 & -2/43 & 0 \\ 0 & 0 & 114/172 & -301/172 + 189/172 & -21/43 & 1 \end{array} \right)
(13/25/41/4000137/869/86−2/4300057/86−112/172−21/431) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 5/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 37/86 & 9/86 & -2/43 & 0 \\ 0 & 0 & 57/86 & -112/172 & -21/43 & 1 \end{array} \right)
3行目を86/57倍します。
(13/25/41/4000137/869/86−2/430001−56/57−42/5786/57) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 5/4 & 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 37/86 & 9/86 & -2/43 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -56/57 & -42/57 & 86/57 \end{array} \right)
1行目から3行目の5/4倍を引きます。
(13/201/4+280/22842/57∗5/4−86/57∗5/4) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 0 & 1/4 + 280/228 & 42/57 * 5/4 & -86/57 * 5/4 \end{array} \right)
(13/201/4+70/57210/228−430/228) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 0 & 1/4 + 70/57 & 210/228 & -430/228 \end{array} \right)
(13/20(57+280)/228210/228−430/228) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 0 & (57+280)/228 & 210/228 & -430/228 \end{array} \right)
(13/20337/228105/114−215/114) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3/2 & 0 & 337/228 & 105/114 & -215/114 \end{array} \right)
2行目から3行目の37/86倍を引きます。
(0109/86+56/57∗37/86−2/43+42/57∗37/86−86/57∗37/86) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 0 & 9/86 + 56/57 * 37/86 & -2/43 + 42/57 * 37/86 & -86/57 * 37/86 \end{array} \right)
(0109/86+2072/4842−2/43+1554/4842−3182/4842) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 0 & 9/86 + 2072/4842 & -2/43 + 1554/4842 & -3182/4842 \end{array} \right)
(010513+2072/4842−452+1554/4842−3182/4842) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 0 & 513 + 2072 / 4842 & -452 + 1554 / 4842 & -3182/4842 \end{array} \right)
(0102585/48421102/4842−3182/4842) \left( \begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 0 & 2585/4842 & 1102/4842 & -3182/4842 \end{array} \right)
1行目から2行目の3/2倍を引きます。
計算が複雑すぎるため、行列式の計算に切り替えます。
det(A)=4(−8⋅8−0⋅2)−6(9⋅8−7⋅2)+5(9⋅0−7⋅(−8))=4(−64)−6(72−14)+5(56)=−256−6(58)+280=−256−348+280=−324det(A) = 4(-8 \cdot 8 - 0 \cdot 2) - 6(9 \cdot 8 - 7 \cdot 2) + 5(9 \cdot 0 - 7 \cdot (-8)) = 4(-64) - 6(72 - 14) + 5(56) = -256 - 6(58) + 280 = -256 - 348 + 280 = -324
余因子行列を計算します。
C11=−64,C12=−58,C13=56,C21=−48,C22=−7,C23=28,C31=52,C32=37,C33=−32−54=−86C_{11} = -64, C_{12} = -58, C_{13} = 56, C_{21} = -48, C_{22} = -7, C_{23} = 28, C_{31} = 52, C_{32} = 37, C_{33} = -32 - 54 = -86.
余因子行列の転置行列は
(−64−4852−58−7375628−86)\begin{pmatrix} -64 & -48 & 52 \\ -58 & -7 & 37 \\ 56 & 28 & -86 \end{pmatrix}
逆行列は
A−1=1−324(−64−4852−58−7375628−86)=(16/814/27−13/8129/1627/324−37/324−14/81−7/8143/162)A^{-1} = \frac{1}{-324} \begin{pmatrix} -64 & -48 & 52 \\ -58 & -7 & 37 \\ 56 & 28 & -86 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16/81 & 4/27 & -13/81 \\ 29/162 & 7/324 & -37/324 \\ -14/81 & -7/81 & 43/162 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(16/814/27−13/8129/1627/324−37/324−14/81−7/8143/162)\begin{pmatrix} 16/81 & 4/27 & -13/81 \\ 29/162 & 7/324 & -37/324 \\ -14/81 & -7/81 & 43/162 \end{pmatrix}

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