与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 - 1$ (2) $x^3 + 27$ (3) $x^3 + 8a^3$ (4) $125x^3 - y^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 1$

(2) $x^3 + 27$

(3) $x^3 + 8a^3$

(4) $125x^3 - y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 1$ は $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2 + x + 1)$

(2) $x^3 + 27$ は $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - x \cdot 3 + 3^2) = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(3) $x^3 + 8a^3$ は $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$x^3 + 8a^3 = x^3 + (2a)^3 = (x + 2a)(x^2 - x \cdot 2a + (2a)^2) = (x + 2a)(x^2 - 2ax + 4a^2)$

(4) $125x^3 - y^3$ は $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$125x^3 - y^3 = (5x)^3 - y^3 = (5x - y)((5x)^2 + 5x \cdot y + y^2) = (5x - y)(25x^2 + 5xy + y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$

(2) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

(3) $(x + 2a)(x^2 - 2ax + 4a^2)$

(4) $(5x - y)(25x^2 + 5xy + y^2)$