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与えられた3x3行列 $ \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 \\ 9 & -8 & 2 \\ 7 & 0 & 8 \end{pmatrix} $ の逆行列を掃き出し法を用いて求める。

代数学行列逆行列掃き出し法ガウス・ジョルダン法線形代数
2025/5/22

1. 問題の内容

与えられた3x3行列
\begin{pmatrix}
4 & 6 & 5 \\
9 & -8 & 2 \\
7 & 0 & 8
\end{pmatrix}
の逆行列を掃き出し法を用いて求める。

2. 解き方の手順

掃き出し法（ガウス・ジョルダン法）を用いる。
与えられた行列Aと単位行列Iを並べた拡大行列を作成する。
(A|I) = \begin{pmatrix}
4 & 6 & 5 &|& 1 & 0 & 0 \\
9 & -8 & 2 &|& 0 & 1 & 0 \\
7 & 0 & 8 &|& 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
この拡大行列に対して行基本変形を行い、左側の行列Aを単位行列Iに変形する。
変形後の右側の行列が、元の行列Aの逆行列となる。
まず、1行目を1/4倍する。
\begin{pmatrix}
1 & 3/2 & 5/4 &|& 1/4 & 0 & 0 \\
9 & -8 & 2 &|& 0 & 1 & 0 \\
7 & 0 & 8 &|& 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
2行目から1行目の9倍を引く。
3行目から1行目の7倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 3/2 & 5/4 &|& 1/4 & 0 & 0 \\
0 & -43/2 & -37/4 &|& -9/4 & 1 & 0 \\
0 & -21/2 & -3/4 &|& -7/4 & 0 & 1
\end{pmatrix}
2行目を-2/43倍する。
\begin{pmatrix}
1 & 3/2 & 5/4 &|& 1/4 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 37/86 &|& 9/86 & -2/43 & 0 \\
0 & -21/2 & -3/4 &|& -7/4 & 0 & 1
\end{pmatrix}
1行目から2行目の3/2倍を引く。
3行目に2行目の21/2倍を足す。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 11/86 &|& 11/86 & 3/43 & 0 \\
0 & 1 & 37/86 &|& 9/86 & -2/43 & 0 \\
0 & 0 & 348/86 &|& -118/86 & -21/43 & 1
\end{pmatrix}
3行目を86/348=43/174倍する。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 11/86 &|& 11/86 & 3/43 & 0 \\
0 & 1 & 37/86 &|& 9/86 & -2/43 & 0 \\
0 & 0 & 1 &|& -59/174 & -21/174 & 43/174
\end{pmatrix}
1行目から3行目の11/86倍を引く。
2行目から3行目の37/86倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &|& 224/1566 & 87/1566 & -473/1566 \\
0 & 1 & 0 &|& 169/1566 & -1/1566 & -1591/1566 \\
0 & 0 & 1 &|& -59/174 & -21/174 & 43/174
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &|& 112/783 & 29/522 & -473/1566 \\
0 & 1 & 0 &|& 169/1566 & -1/1566 & -1591/1566 \\
0 & 0 & 1 &|& -59/174 & -7/58 & 43/174
\end{pmatrix}

3. 最終的な答え

逆行列は
\begin{pmatrix}
112/783 & 29/522 & -473/1566 \\
169/1566 & -1/1566 & -1591/1566 \\
-59/174 & -7/58 & 43/174
\end{pmatrix}
もしくは
\frac{1}{1566}
\begin{pmatrix}
224 & 87 & -473 \\
169 & -1 & -1591 \\
-531 & -252 & 43 * 9
\end{pmatrix}
\frac{1}{1566}
\begin{pmatrix}
224 & 87 & -473 \\
169 & -1 & -1591 \\
-531 & -252 & 387
\end{pmatrix}

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